sábado, 11 de abril de 2009

JOGOS DE BOOLE


O que está por trás dos Jogos Boole. No nosso Tutorial você fica conhecendo as idéias que deram origem aos jogos, o que você pode conseguir utilizando-os, bem como instruções para jogar. Recebe informações sobre os jogos binários que ajudam a compreender a origem dos computadores e sobre os quadrados mágicos, um enigma matemático, bem como outras informações.



INSTRUÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DOS JOGOS BOOLE
A matemática Digital
Os Jogos Boole e as histórias lógicas
Os objetivos das histórias lógicas
Os Jogos Boole e a analogia homem-máquina
Os Jogos Boole e o método utilizado
Os Jogos Boole, os processos linguísticos e o sistema binário
A pedagogia cibernética e os Jogos Boole
A importância do material concreto
Os Quadrados Mágicos
Formas de pensamento
Conjuntos proposições e circuitos
A álgebra de Boole
A pedagogia cibernética
Os Jogos Boole e o sistema binário
Os Jogos Boole e os quadrados mágicos
Os Jogos Boole e os isomorfismos
Os Jogos Boole e os sistemas hipotéticos dedutivos
Os Jogos Boole e as histórias lógicas
Os Jogos Boole e a matemática
Os Jogos Boole e o computador
Os Jogos Boole e as máquinas
Uma ferramenta na busca da formalização do pensamento.

INSTRUÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DOS JOGOS BOOLE

O KIT BOOLE é composto por cinco livros e quatro baralhos. O livro preto NÃO vem acompanhado de cartas, pois trabalha com todas as outras na solução de seus enigmas.
Os cinco livros contêm 26 histórias com níveis diferentes de dificuldade que é definido também pela quantidade de cartas a ser utilizadas:
1-Laranja (9 cartas) 2-Vermelho (9 cartas) 3-Azul (12 cartas) 4-Verde (16 cartas) 5-Preto (25 cartas)
À medida que a criança consegue resolver os enigmas do primeiro nível, passa para o seguinte.
Inicia-se a utilização do material pelo JOGO LARANJA. Este é composto por doze cartas (três personagens, três animais, três meios de transportes, três guloseimas). Todas as histórias lógicas são propostas envolvendo somente nove cartas. As três restantes podem ser colocadas onde o jogador quiser para completar a história. Para resolver as histórias o jogador deve dispor as cartas em linhas verticais, que devem conter um personagem, um meio de transporte e um animalzinho. A classificação facilita a resolução do enigma proposto.
O jogo vermelho consiste na solução de quatro histórias com estruturas lógicas e na formação de oito quadrados mágicos diferentes.

PÉTI JUCA
NAVIO AVIÃO METRÔ
CÃO

QUADRADOS MÁGICOS

As oito soluções dos Quadrados Mágicos devem obedecer a seguinte regra:
O jogador deverá dispor as cartas numeradas, de maneira que a soma dos números, no sentido vertical, horizontal e das duas diagonais principais, seja sempre QUINZE. O Segredo na formação do Quadrado Mágico é o número cinco no meio. Quem colocar o cinco no meio tem oito possibilidades de formar um quadrado mágico. Outra dica importante é colocar as cartas de números ímpares na cruz ou sinal de mais e os pares nas pontas. Com estas duas dicas torna-se mais fácil manter o quadrado mágico. Então, BOA SORTE!
Ainda no JOGO VERMELHO é possível mostrar o SISTEMA BINÁRIO (sistema de numeração). Assim como existe o sistema decimal e o romano, existe o sistema binário que é a origem da linguagem do computador. O Sistema binário e um código onde a bolinha tem valor de posição. Você vai encontrar no verso das cartas um conjunto de quatro símbolos (zero-0) e (um-0). Estes conjuntos de bolinhas representam um número binário que corresponde ao número decimal inscrito no outro lado da carta.
Você encontrará mais instruções junto ao baralho vermelho.
No baralho verde também há proposição de quadrado mágico, mas a soma teve ser 34 devido a um maior número de cartas, ou seja, 16. É preciso então formar uma matriz 4x4 onde a soma das linhas, das colunas e das duas diagonais principais deve ser 34. As cartas verdes também contêm o código binário até o número 16.

A matemática Digital

OS JOGOS BOOLE – Estes jogos podem ser vistos como uma técnica de organização das formas de pensar. Apoiados no trabalho de George Boole(1815/1864) a idéia inicial dos jogos fundamenta-se na teoria matemática dos conjuntos. Um dos objetivos dos jogos é utiliza-los na organização e/ou estruturação de sistemas. Eles se constituem numa combinatória e utilizam como “ferramenta” a Álgebra de Boole para conduzir-nos ao pensamento denominado formal indispensável na ciência. Estamos gradativamente oferecendo aos que já se iniciaram neste processo detalhes do trabalho que estamos realizando há vários anos com bons resultados conforme depoimentos de profissionais de todas as esferas do ensino-aprendizagem.
O trabalho proposto tem características interdisciplinares e pretende-se que os seguidores desta técnica assimilem as noções elementares da Teoria dos Conjuntos, Álgebra das proposições e o tratamento adequado da informação.Com o uso cada vez mais generalizado do Computador esta técnica que utilizamos se torna essencial na construção dos programas para esta máquina. O conhecimento dos processos lógicos preconizados conduz a uma ocupação mínima da memória da máquina encurtando o tempo de processamento dos programas e produzindo uma grande economia em todas as fases do processo. Daí, a nossa confiança de que a medida que estes procedimentos forem plenamente compreendidos, despertarão grande interesse em todos os profissionais e empresários que transitam nesta área. Quando estes procedimentos são utilizados desde a infância maiores certamente serão as vantagens obtidas.
É possível desenvolver-se a capacidade de raciocínio desde que estimulada por motivações suficientes e adequadas a faixa de desenvolvimento da pessoa.
O século XIX foi a idade de ouro da matemática, foi neste período que surgiu uma verdadeira legião de grandes nomes da matemática e dentre eles George Boole, criador da álgebra que leva o seu nome e que é hoje ferramenta largamente utilizada na teoria da informação e na computação eletrônica.
Nascido de família modesta em Lincoln, Grã-Bretanha, Boole tinha só instrução escolar comum. Com ele fica evidente pela primeira vez, a idéia de que a característica essencial da matemática não é tanto o seu conteúdo, mas a sua forma.
Se qualquer assunto é apresentado através de símbolos e de regras precisas de operação, sujeitas apenas à exigência de não contradição, tal assunto é matemática.
Os jogos que apresentamos são simples tratam de matemática, lógica elementar, Quadrados Mágicos e uma introdução ao Sistema Binário.
Os Quadrados Mágicos, se constituem em um passatempo matemático que vem atravessando os séculos e foram eternizados pelo pintor Albrecht Dürer(1471-1528), em sua obra “Melancolia”. Nos nossos jogos eles são utilizados para mostrar as formas de pensamento Aleatório, Heurístico e Algorítmico.

Os Quadrados Mágicos

O assunto mais importante tratado nos Jogos Boole são os processos booleanos no trato das sentenças ou proposições abordados através de histórias lógicas.
Porém, nos jogos abordamos também dois outros assuntos também muito importantes: A introdução ao Sistema Binário de numeração e os Quadrados Mágicos utilizados por nós para mostrarmos as formas de pensamento Aleatório, Heurístico e Algorítmico.
Segundo a história da Matemática os Quadrados Mágicos foram descobertos pelos chineses há mais de 3.000 anos antes de Cristo.
Mas, em que consistem os Quadrados Mágicos?
Os chamados Quadrados Mágicos consistem em uma matriz numérica quadrada em que as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas.
Por exemplo o Quadrado Mágico 3 x 3, é formado pelos nove dígitos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dispostos em três linhas e três colunas. Se os dígitos forem colocados aleatoriamente na matriz, o tempo necessário para a formação destas matrizes especiais era calculado em 40 dias de trabalho ininterrupto para a conclusão da tarefa. Com o advento dos Computadores, esta afirmação não tem mais sentido.
De qualquer forma parece natural que os primeiros interessados em resolver este problema tenham procurado soluções menos demoradas, como ocorre em todo o processo científico.
No procedimento aleatório o cálculo das possibilidades nos fornece o seguinte valor:
9! (fatorial de nove), isto é, 9x8x7x6x5x4x3x2x1=362.880 possibilidades de colocação dos dígitos na matriz.
Diante desta dificuldade os matemáticos da antigüidade imaginaram outros caminhos para a solução do problema.
Uma das soluções consiste em fazer composições dos 9 dígitos 3 a 3:
1+5+9, 1+6+8, 2+4+9, 2+5+8, 2+6+7, 3+4+8, 3+5+7, 4+5+6 e, comparar com o quadro:

A L A

L C L

A L A

Comparando os resultados numéricos com a matriz de letras, observamos que há 4 elementos angulares (A), 4 laterais (L) e 1 central(C).
Se, ao executarmos as somas horizontais, verticais e diagonais verificarmos que os elementos laterais entram duas vezes na composição das somas, então eles são os números 1,3,7,9.
Como os angulares entram 3 vezes nas somas eles são o números 2,4,6,8.
Como o dígito 5 aparece 4 vezes nas somas ele é o elemento central.
Com as cartas dos baralhos vermelho e azul podemos construir Quadrados Mágicos 3 x 3 e com o baralho verde Quadrados Mágicos 4 x 4.
Em que consiste o processo Aleatório?
É a forma livre arbitrária, verificando a cada passo as somas das linhas, colunas e diagonais até chegar ao resultado desejado.
Se porém, de alguma forma tivermos por exemplo a informação de que o problema só tem solução quando o dígito 5 é o elemento central, ou que os dígitos pares devem ficar nos 4 cantos da matriz, isto é, são os elementos angulares, então o ataque ao problema não será mais aleatório.
Os indicadores citados, alteram a forma do processo de busca da solução, o processo passa a ser então o chamado processo Heurístico.
Todos os problemas com que nos defrontamos na vida diária e mesmo na ciência são em princípio resolvidos por uma destas duas formas de pensamento.
Mas, como sabemos muitos problemas podem ser resolvidos por fórmulas precisas, isto é, existem regras que utilizadas permitem que em um número finito de passos se consiga alcançar o objetivo procurado.
Estes procedimentos são chamados Algorítmicos (palavra derivada do árabe), utilizados não só para produzirmos uma receita de bolo como também para a formulação de programas de computador em diversas linguagens, um dos algoritmos mais famosos é a fórmula de Báskara, que tanto aterroriza os jovens do ensino básico.

Vejamos o processo algorítmico:



Seja a matriz:



x x x



x x x



x x x



Embora, seja possível chegarmos a solução do problema pela análise matemática, vamos colocar de forma arbitrária o dígito 1 na posição central da primeira linha:



x 1 x



x x x



x x x



e, partir daí vamos utilizar duas regras na construção automática de um Quadrado Mágico 3 x 3.
REGRA 1.
A partir do número 1 na posição em que se encontra na matriz façamos os seguintes deslocamentos: um movimento para cima, e se não for possível, como é o caso presente porque sairíamos dos limites da matriz, o deslocamento deve ser para a última linha na mesma coluna e daí um segundo deslocamento para à esquerda.
Coloque então o 2 na posição que lhe cabe na matriz.

Assim:



x 1 x



x x x



2 x x

Para colocar o número 3 proceda assim: Faça um deslocamento para cima a partir da posição do 2 e tente deslocar-se para á esquerda. Este segundo movimento também, não é possível porque novamente sairíamos dos limites da matriz. Então faça o deslocamento para o lado oposto na segunda linha e terceira coluna, assim:



x 1 x



x x 3



2 x x

Se, para colocarmos o número quatro partirmos da posição do número 3 e fizermos um deslocamento para cima e a seguir um para à esquerda chegaremos a posição já ocupada pelo número 1.
Então, o que fazer?
REGRA 2.
Quando a regra 1 não funciona aplica-se a regra 2 que consiste no seguinte:
Faça apenas um deslocamento para baixo na mesma coluna, assim:

x 1 x



x x 3



2 x 4



Para prosseguir volte a regra 1.



x 1 x



x 5 3



2 x 4



e, sucessivamente:



6 1 x



x 5 3



2 x 4



Na colocação do número 7 a regra 1 também não funciona, então aplicamos a regra 2, e para colocação dos números 8 e 9 voltamos a regra 1.
É, óbvio que partir de um certo estagio da construção do Quadrado Mágico, não precisamos mais das regras, uma vez que para completá-lo, sabemos que os ternos de números das linhas, colunas e diagonais devem somar 15.



O LIVRO NOVO E OS QUADRADOS MÁGICOS



Acompanha o livro novo um baralho com 48 figurinhas numeradas de 1 a 48, então com elas podemos construir não só os Quadrados Mágicos 3 x3, 4 x 4, 5 x 5, 6 x 6 e mesmo o 7 x 7.



3 x 3 6 1 8

7 5 3

2 9 4





4 x 4 16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1



5 x 5 15 8 1 24 17

16 14 7 5 23

22 20 13 6 4

3 21 19 12 10

9 2 25 18 11



6 x 6 6 32 3 34 36 1

7 11 27 28 8 30

19 14 16 15 23 24

18 20 22 21 17 13

25 29 10 9 26 12

36 5 33 4 2 31



7 x 7

O baralho que acompanha o livro novo tem somente 48 figurinhas e para construirmos um Quadrado Mágico 7 x 7 precisamos de 49 números sugerimos a colocação no lugar destinado ao número 49 um símbolo qualquer desde que esclareçamos que ele está representando este número.


Quadrado Mágico

7 x 7



22 47 16 41 10 35 4

5 23 48 17 42 11 29

30 6 24 (49) 18 36 12

13 31 7 25 43 19 37

38 14 32 1 26 44 20

21 39 8 33 2 27 45

46 15 40 9 34 3 28
No quadrado 3 x 3, como a soma dos números de 1 a 9 é 45, cada coluna deve somar 15, no quadrado 4 x 4 como a soma de 1 a 16 é 136, cada coluna deve somar 34, no quadrado 5 x 5, como a soma de 1 a 25 é 325, cada coluna deve somar 65, no quadrado 6 x 6, como a soma de 1 a 36 é 666, cada coluna deve somar 111. E, finalmente, no quadrado 7 x 7, como a soma de 1 a 49 é 1225, cada coluna deve somar 175.
Na Antigüidade, os Quadrados Mágicos recebiam denominações especiais 3 x 3, estava ligado ao planeta Saturno, 4 x 4 a Júpiter, 5 x 5 a Marte, 6 x 6 ao Sol e 7 x 7 a Vênus.

A álgebra de Boole

A Álgebra de Boole é uma estrutura matemática abstrata(George Boole-1813-1864).
Definição: Um conjunto A de elementos a,b,c,... e duas operações binárias, entre seus elementos, denominadas soma (+) e produto(.), formando a terna [ A, +, . ] é o que se denomina uma Álgebra de Boole se são válidas as seguintes leis:
Comutatividade: a + b = b + a, a . b = b . a
Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c)
a . b ) c = a . ( b. c )
Distributividade: a + ( b. c ) = ( a + b ) . ( a + c )
a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c )

Observe que a multiplicação é distributiva em relação a adição como na álgebra clássica mas que aqui a adição também é distribuitiva em relação a multiplicação. Esta é uma notável diferença entre as duas álgebras.
Fechamento: Para quaisquer par a,b pertencente a A, a soma a+b e o produto a . b existem e são elementos únicos em A .
Identidade: para qualquer "a" pertencente a "A" existe um único "0" (zero) pertencente a "A" e um único "1" pertencente a "A" tal que: a + 0 = a, e, a .1 = a
Obs. O 0(zero) é denominado identidade aditiva e o 1(um) identidade multiplicativa.
Complemento:Para qualquer "a" pertencente a "A", existe um único "ã" pertencente a "A" denominado complemento de "a" tal que:
a + ã = 1 e, a . ã = 0.

Os Jogos Boole e o sistema binário

Nos Jogos Boole são também exploradas atividades para a introdução ao Sistema Binário.
No jogo de cartas verdes com 16 imagens (figurinhas) estimula-se que seja feita a escolha de uma das imagens.
Apresentam-se então quatro tabelas cada uma delas com oito imagens e pede-se a quem escolheu uma das imagens que indique em quais das tabelas se encontra a imagem escolhida de forma sigilosa(sem revelar a escolha).
As tabelas são construídas obedecendo a um critério binário, A=8,B=4,C=2,D=1.

Tabela A (11,10,14,13,12,15,8,9)

Tabela B (7,5,14,6,4,12,13,15)

Tabela C (6,3,7,2,10,14,11,15)

Tabela D (3,1,5,7,9,15,11,13)


Os Jogos Boole e os quadrados mágicos

Nos Jogos Boole utilizamos a numeração das cartas para construirmos Quadrados Mágicos e explorarmos as formas de raciocínio Aleatório, Heurístico e Algorítmico.
Os Quadrados Mágicos são problemas milenares que teriam sido tratados inicialmente pelos chineses há mais de três mil anos antes de Cristo. Eles constam basicamente da colocação dos nove algarismos (dígitos) chamados significativos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 em nove celas, quadrados semelhantes aos utilizados no "Jogo da Velha". O objetivo é conseguir colocar os números de modo que as somas das três casas horizontais, das três casas verticais (linhas e colunas) e também das três casas diagonais principais tenham a mesma soma. No quadrado 3x3, a soma deve ser 15, porque se somarmos os números de 1 a 9 teremos como soma 45, e sendo as linhas e colunas formadas por três casas temos 45/3=15.
Se colocarmos os números de forma aleatória, os calculos mais otimistas indicam que seriam muitos dias de trabalho ininterruptos para a conclusão da tarefa. É portanto, natural que se procurassem soluções mais simples para a solução deste problema. (O cálculo das possibilidades é (9!=9.8.7.6.5.4.3.2.1).
Uma das soluções buscadas para amenizar o esforço é fazer as composições dos 9 números 3 a 3 de modo que atendam as condições do problema e que são as seguintes:
1+5+9, 1+6+8, 2+4+7, 2+5+8, 2+6+7, 3+4+8, 3+5+7, 4+5+6, e compará-las com o quadro:
A L A
L C L
A L A

Ao executarmos as somas horizontais, verticais e diagonais verificamos que os elementos laterais entram duas vezes na composição das somas, logo : 1,3,7,9 são os laterais. Os angulares entram três vezes nas somas, então 2,4,6,8 são os angulares. O elemento central entra quatro vezes na composição das somas e o único elemento que aparece quatro vezes na composição das somas é o 5, portanto 5 é o elemento central. Conhecido o elemento central, e combinando-o com qualquer número angular, por exemplo 4, temos : 4+5+6=15. A partir daí torna-se fácil a terefa de formar o Quadrado Mágico.
4 9 2
3 5 7
8 1 6

A importância do material concreto

A Psicologia alcançou um grande desenvolvimento nesta segunda metade do século XX. A mais notável contribuição para a psicologia cognitiva é atribuída a Jean Piaget.
Durante pelo menos três décadas os professores demonstraram grande interesse pelas etapas de desenvolvimento mental estabelecidas por Piaget.
Ao preconizar que a inteligência se constrói Piaget estabeleceu uma seqüência de etapas em que a etapa do pensamento concreto antecede a de pensamento abstrato necessariamente.
Para Piaget é da ação que a inteligência, o pensamento e a lógica derivam, pois a operação nasce da ação. A primeira característica das construções lógicas ou matemáticas é que são sistemas ou, se preferirmos, estruturas. Para compreendermos estas idéias precisamos atingir um nível de pensamento denominado por Piaget como pensamento operatório formal.
A característica do pensamento formal é de elaborar uma lógica que se baseia em proposições – o que a distingue da lógica das classes e das relações, que intervém no nível concreto e se baseia diretamente nos objetos.
Decorre daí que todos os jogos, e no primeiros níveis, os apoiados em material concreto, servem de alavancas para o desenvolvimento dos níveis superiores de pensamento necessários não só para o avanço das idéias matemáticas, mas também para a compreensão dos processos de aprendizagem de todas as disciplinas de um currículo básico.

Conjuntos proposições e circuitos

Podemos fazer uma correspondência entre proposições e conjuntos, e também a cada operação lógica podemos fazer corresponder uma operação com conjuntos.
Assim a Conjunção(Lógica) corresponde a Intersecção(Conjuntos), a Disjunção(Lógica) corresponde a Reunião(Conjuntos), a Negação(Lógica) corresponde a Complementação(Conjuntos).
Vemos então que existe uma analogia entre o Cálculo Proposicional e as operações com conjuntos.
A possibilidade do mesmo tratamento dos dois campos aparentemente distintos é de uma importância notável, ainda mais porque podemos aplicar o cálculo proposicional na construção de circuítos.
Isto é muito importante porque o Computador pode realizar mediante instruções uma sucessão praticamente infinita de operações a uma alta velocidade.
Um exemplo interessante das possibilidades que o Computador apresenta pode ser traduzida pelo exemplo a seguir:
Uma comissão de três membros terá seus votos registrados por um circuíto elétrico. Cada membro da comissão deverá apertar um botão se quiser dar voto positivo(sim) e não deverá apertar o botão se quiser dar voto negativo(não). Se houver maioria simples com voto afirmativo passará corrente e acenderá uma lâmpada.
Sejam as proposições:
p : O primeiro aperta o botão.
q : O segundo aperta o botão.
r : O terceiro aperta o botão.
A tabela lógica será a seguinte:
p q r
V V V (X)
V V F (X)
V V F (X)
V F F
F V V (X)
F F V
F F F

Os casos assinalados com (X) são de maioria simples (nestes casos passará corrente e a lâmpada acenderá).
Precisamos então construiri uma proposição que seja verdadeira nestas condições.
A proposição P(p, q, r), que é verdadeira somente nas situações assinaladas com (X), é :

(p.q.r) + (p.q.~r) + (p.~q.r) + (~p.q.r)
A construção do circuíto lógico, e as condições de seu funcionamento é tarefa para o técnico em eletricidade.

Formas de pensamento

Os Quadrados Mágicos são problemas dos mais intrigantes e segundo a lenda foram descobertos pelos chineses há mais de 5.000 anos, rivalizando em interesse com os grandes problemas matemáticos de todos os tempos. Nos jogos Boole utilizamos os Quadrados Mágicos para mostrarmos as formas de pensamento que utilizamos na solução de todos os problemas desde os mais simples até os problemas científicos.
Estes processos receberam a denominação de : Aleatório, Heurístico e Algoritimico. Os Quadrados Mágicos nada são além do que matrizes quadradas do tipo 3 x 3, 4 x 4, etc., em que todas as suas linhas, colunas e diagonais principais devem somar o mesmo número. Assim, uma matriz 3 x 3 formada pelos números de 1 a 9, deve ter como soma de cada linha, coluna, ou diagonais a soma 15, porque a soma de 1 a 9 sendo igual a 45, e todas as linhas, colunas e diagonaias devendo ter a mesma soma, esta soma terá que ser 15.
Este joguinho que acompanha estas observações permite que você forme Quadrados Mágicos, utilizando primeiramente somente os números que estão no círculo, e depois somente os que estão no quadrado, ou somente no triângulo, ou ainda somente no pentágono.
Eles podem ser utilizados como uma forma de brincadeira com crianças ou mesmo com adultos. Porém, se você quiser torná-los mais do que uma simples brincadeira tente descobrir as leis de formação dos Quadrados Mágicos em cada um dos quatro casos apresentados
Tente descobrir as oito soluções do problema 3 x 3, e também quando o problema não tem solução.


Os Jogos Boole e as histórias lógicas

As histórias apresentadas nos Jogos Boole tem como solução verdadeiras matrizes no sentido matemático do termo, isto é, quadros de fileiras e colunas conexas.
As colunas correspondendo aos critérios característicos da estrutura pré-determinada e as linhas correspondendo aos objetos de mesmas categorias(ou significações).
Os Jogos Lógicos são importantes porque o Computador sendo uma máquina lógica tanto quando aritmética deve combinar contingências de acordo com algum algoritmo sistemático.
Embora existam inúmeros algorítmos que poderiam ser utilizados na combinação de contingências, o mais simples é conhecido como Álgebra de Boole.
Este algoritmo, como a aritmética binária, baseia-se na dicotomia, isto é, na escolha entre o "sim" e o "não", ou seja no fato de estar em uma classe ou fora dela.
Nos computadores digitais a informação é manejada com representações de números.
Esta forma pode implicar relações matemáticas simples ou complexas, tomada de decisões baseadas nos fundamentos das características e combinações distintas destas relações.
Os Jogos Boole tratam destes assuntos que estão agora chegando a escola e ao grande público.
Computadores, telefones celulares, códigos de barra, Internet, fazem cada vez mais parte da rotina de todos nós.

Os Jogos Boole e a matemática

Os estudos cada vez mais intensos no tratamento matemático de idiomas divisam a linguagem como um código.
Um conjunto sistemático de signos e mecanismos interdependentes que nos permitam tratar como formalmente idênticos textos lingüísticos que possuam diferenças de ordem puramente semânticas.
A existência de uma álgebra para a linguagem natural nos permite calcular a resposta a uma pergunta da mesma forma como calculamos a resposta para um problema numérico.
No momento histórico no campo didático que estamos vivendo, com a evolução rápida das técnicas exige-se pessoas que saibam organizar informações para decidir com rapidez e enfrentar novas situações.
A solução de problemas de rotina exige apenas uma consulta ao banco de dados(memória) do indivíduo, eles não pedem mais do que um conhecimento "mecânico", não há apelo à inteligência mas somente a busca de um conhecimento já existente.
Ora, para esta tarefa as máquinas superam em muitos aspectos o ser humano.

Os Jogos Boole e a analogia homem-máquina

Os neurônios ou células nervosas são elementos que embora sofram influências elétricas, na sua ação fisiológica comportam-se como um jogo de “tudo ou nada”, de “sim” ou “não” de “1” ou “0”.
Esta analogia de comportamento do cérebro com a máquina levou a comparação entre o cérebro e o computador, mas na realidade o cérebro não é o análogo da máquina de computação, mas é a máquina eletrônica que produz um comportamento análogo a uma única função do cérebro que é a situação de um neurônio, situação esta que se traduz no estado de movimento (1) ou repouso (0) que o neurônio se encontre.
Isto, explica certamente porque temos todos e mais ainda as crianças não submetidas a procedimentos inibidores grande facilidade na assimilação dos procedimentos lógico-matemáticos do tipo booleano, embora não necessariamente saibam conscientemente que os estão utilizando.
Dessa analogia surgiu a idéia de utilizar os circuitos nas máquina de calcular eletrônicas que realizam operações no sistema binário.
Entretanto, para facilitar o operador da máquina, a entrada e a saída dos dados numéricos é realizada na forma decimal.
Para vencer esta dificuldade as máquina são equipadas com codificadores e decodificadores apropriados para realizarem as conversões decimal-binária e binária-decimal.


Os Jogos Boole, os processos linguísticos e o sistema binário


A colocação como objeto de estudo dos modelos abstratos para o estudo da linguagem surge no início do século, embora já em 1894 Ferdinand Saussure tenha escrito:
“As relações em linguagem, são regularmente expressáveis em sua natureza fundamental por fórmulas matemáticas.
O matemático alemão Leibniz vislumbrou a possibilidade de que se fosse possível encontrar-se símbolos adequados para expressar todos os nossos pensamentos com nitidez e exatidão como a aritmética expressa relações entre números seria possível transformar a linguagem em uma espécie de cálculo.
O gênio alemão Gottfriend Wilhelm Leibniz foi um dos primeiros defensores do Sistema Binário.
Mais de um século após sua morte, George Boole, matemático inglês autodidata retomou as idéias de Leibniz na procura de uma linguagem universal.
A história registra como notável que um homem de origem humilde como Boole fosse capaz de assumir tal busca.
Boole era filho de comerciantes pobres, e dificilmente naquela época poderia obter uma educação sólida, e muito menos dedicar-se a uma carreira intelectual.
Mas, criança precoce, aos 12 anos Boole já dominava o latim e o grego.
Mais tarde, incorporou o francês, o alemão e o italiano aos seus conhecimentos.
Posteriormente, dedicou-se a matemática estudando todas as publicações especializadas que conseguia.
Durante dez anos Boole dedicou-se a construir sua reputação com grande produção de textos para periódicos locais.
Seu trabalho causou tão boa impressão que, em 1849, foi convidado para fazer parte de uma faculdade na Irlanda. Boole criou um sistema de lógica simbólica chamado mais tarde de Álgebra de Boole.
Mas, só um século depois que cientistas unindo suas fórmulas aos sistema binário de numeração, o que tornou possível o Computador.
A Álgebra concebida por Boole era um sistema de símbolos e regras aplicável a qualquer coisa, desde números e letras a objetos e enunciados.
Com esse sistema, Boole pôde codificar proposições – isto é, enunciados que se pode provar serem verdadeiros ou falsos – em linguagem simbólica, e então manipula-las quase da mesma maneira como se faz com os números.


Os Jogos Boole e o método utilizado

O método axiomįtico

Fazemos deduções a todo o momento.

Deduēões sćo formas de raciocķnio em que as conclusões dependem das premissas ou hipóteses.
Nas situações da vida de todos os dias é difķcil chegar a conclusões seguras porque as premissas aceitas por uns nćo sćo aceitas por outros.
Na Matemįtica, entretanto, é preciso que todos estejam de acordo e aceitem as mesmas premissas, de modo que nćo se chegue a conclusões contraditórias.
Nenhuma premissa pode ser modificada durante o processo de argumentaēćo. As premissas nćo se discutem, se aceitam como hipóteses nćo interessa se sćo verdadeiras, o que interessa sćo as conclusões que se podem obter destas hipóteses.
Se as premissas sćo verdades entćo que verdades podemos deduzir delas, este é o objetivo do processo dedutivo.
Esta é a metodologia utilizada nos Jogos Boole com suas histórias lógicas.

Os Jogos Boole e as máquinas

As máquinas são cada vez mais utilizadas nos bancos, nos escritórios comerciais e nos laboratórios porque os métodos mecânicos e elétricos são mais rápidos do que os manuais.
Assim é uma imensa vantagem remover o elemento humano de qualquer processo elaborado de computação e introduzí-lo apenas onde ele for absolutamente indispensável, isto é, no inicio e no fim das operações.
Nestas condições compensa ter um instrumento para mudar a escala de notações a ser utilizada no início e no fim da cadeia de computação e realizar todos os processos intermediários na escala binária.
O algoritmo que melhor se ajusta a esta técnica é o conhecido como Álgebra da Lógica ou Álgebra de Boole.
Esta álgebra, como a aritmética binária, baseia-se na dicotomia, a escolha entre o "sim" e o "não", a escolha entre estar em uma classe ou fora dela. A importância deste fato é fantástica porque os sistemas nervosos animal e humano, sabidamente capazes de um sistema de computação contém elementos adequados para atuarem como relés.

Uma ferramenta na busca da formalização do pensamento

Inicialmente escolhe-se uma nova linguagem simbólica ou formal para exprimir a teoria em substituição a uma linguagem natural.
Posteriormente, organizam-se as assertivas da teoria dedutivamente, isto é, escolhe-se algumas assertivas como axiomas ou postulados a partir das quais as outras podem ser gradativamente obtidas.
Então, exprime-se as propriedades dos termos do universo do discurso através de novos axiomas até que o significado destes termos ordinários(fora do universo do discurso) e os princípios usados para decidir quando uma assertiva é conseqüência (lógica) de outras.
O resultado é uma teoria em que se abstraiu inteiramente o conteúdo ou significado dos termos restando apenas a sua sintaxe ou forma.
A teoria está então completamente formalizada.
Uma teoria formalizada contém uma primeira parte relativa ao universo do discurso em questão e uma segunda parte relativa a linguagem formal e aos princípios lógicos adotados.
A primeira parte é intrínseca à teoria, mas a segunda parte pode ser separada e usada novamente em outros contextos.
Um sistema formal consiste exatamente de uma linguagem formal e de uma abstração adequada para os princípios usados para decidir quando uma assertiva é conseqüência(lógica) de outras.
No desenvolvimento da Programação em Lógica, estes conceitos são importantes, pois um programa em Lógica, na sua forma mais geral, nada mais é do que uma teoria completamente formalizada e descrita por um número finito de axiomas.
Estas idéias dão suporte aos objetivos dos Jogos Boole que buscam através de formas concretas conduzir o indivíduo no processo de formalização de suas idéias.
Pode não ser uma tarefa fácil, mas é uma tarefa possível.

Os Jogos Boole e os sistemas hipotéticos dedutivos

As histórias utilizadas nos Jogos Boole tem uma estrutura lógico matemática em que se apóiam para se constituírem em um sistema hipotético-dedutivo.
Nas estruturas não são obrigatoriamente feitas referências explicitas a qualquer assunto específico, e, se, conseguirmos descobrir as implicações que resultam dos axiomas, não será por causa das propriedades que possuem, porque eles indicam qualquer classe de entidades possíveis, com a única restrição de que devem "satisfazer", ou estar de acordo com as relações formais estabelecidas nos axiomas.
Nossas "hipóteses", portanto, consistem em relações consideradas como verdadeiras ainda que os termos sejam indefinidos, que podem ser qualquer coisa, contanto que o que eles simbolizam esteja de acordo com as relações estabelecidas entre eles.
Este procedimento caracteriza a moderna técnica matemática, e como veremos toma possível dar uma variedade de interpretações aos elementos indefinidos, e, assim, apresentar uma identidade de estrutura em diferentes conjuntos concretos.
Entendemos por "Estrutura Matemática" não obrigatoriamente algo expresso em números mas a relação interna essencial entre elementos componentes de um problema.
Este é o tratamento adequado porque na verdade isto é tudo o que a Matemática significa em si mesma.
No trabalho com os jogos apresentamos alguns exemplos de problemas solucionados pelos procedimentos booleanos.

Os Jogos Boole e o computador


Não há pesquisa moderna sem o Computador.
Precisamos tratar os problemas de modo diferente.
A extraordinária possibilidade de efetuarmos cálculos afetou a natureza da teoria e dos problemas.
Os Computadores tornaram possível realizar operações repetitivas a altíssima velocidade e a simular processos de pensamentos humanos com grande sucesso.
Já é possível demonstrar teoremas lógicos muitas vezes difíceis até para especialistas em lógica.
O Computador exige um ataque diferente aos adotados até hoje na solução dos problemas sejam quais forem e principalmente aos problemas matemáticos.
Os métodos de solução estão profundamente alterados pelo Computador.
A formatação(algoritmo) do problema, o raciocínio, o caminho a ser adotado na busca da solução, a estrutura, são hoje mais importantes do que os cálculos.
Os Jogos Boole foram criados com esta preocupação.

Os Jogos Boole e os isomorfismos

Uma estrutura comporta em primeiro lugar elementos e relações que os unem, sem que seja, no entanto, possível caracterizar ou definir esses elementos independentemente das relações em jogo. Os elementos podem ser de natureza muito diversas. As relações podem consistir também em ligações de toda a espécie: afirmativas, implicativas, etc., segundo o tipo de estrutura.
As estruturas assim definidas podem ser consideradas independentemente dos elementos que as compõem. Podemos considerar a estrutura enquanto "forma" ou sistema de relações, e isto é indispensável para as nossas comparações porque é o princípio de todo o isomorfismo. Dir-se-á que existe um isomorfismo entre duas estruturas se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus elementos, assim como entre as relações que os unem conservando estas relações. Como é possível fazer abstração desses elementos e da sua natureza, um isomorfismo entre duas estruturas acaba por reconhecer a existência de uma mesma estrutura, mas aplicada a dois conjuntos de elementos diferentes.
Estas idéias estão expressas no livro de Piaget, "Biologia e Conhecimento".
Nos Jogos Boole são utilizados estes procedimentos matemáticos porque são adequados para proporcionar a evolução das formas de pensar.

Piaget afirma:

"Com as operações hipotético-dedutivas que a combinatória proporcional permite a possibilidade de uma lógica formal, no sentido de uma estrutura organizadora aplicável a qualquer tipo de conteúdo. É o que torna possível a constituição da matemática "pura" como construção de formas de organizações prontas a organizar tudo, mas não organizando mais nada na medida em que estão dissociadas da sua aplicação."
A ciência tem mostrado possibilidade de um parentesco da lógica dos modelos cibernéticos e o trabalho do cérebro e hoje se busca identificar uma lógica dos neurônios que acreditamos ser possível mediante uma linguagem apropriada.
Com os Jogos Boole, é possível com um trabalho interdisciplinar identificar muitas situações de isomorfismos.

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